EIGamal密码算法

本文最后更新于：2024年5月26日 晚上

EIGamal密码算法

EIGamal密码算法是一种基于离散对数问题的非对称加密算法，由Taher ElGamal在1985年提出。该算法的安全性依赖于有限域中离散对数问题的难解性，利用指数函数的单向性质实现加密和解密。

基本原理

  1. 密钥生成：
    • 选择一个大素数 p，使得 p−1 有大素因子。
    • 选择一个模 p 的本原根 g，并将 p 和 g 公开。
    • 用户选择一个私钥 x，其中 x∈[0,p−1]，并计算公钥y=g^x mod p。
  2. 加密过程：
    • 发送方选择一个随机数 a，满足 1<a<p−1。
    • 计算 c 1=g^a mod p。
    • 选择一个随机数 k，满足 2≤k<p。
    • 计算 c 2=m . (c 1^k) mod p，其中 m 是明文消息。
    • 密文为 (c 1,c 2)。
  3. 解密过程：
    • 接收方计算 s=(c 1^k) mod p。
    • 计算 (s^−1)mod p。
    • 计算 m=c 2⋅(s^−1) mod p。

特点

  1. 随机性：在加密过程中引入了随机数 𝑘k，增加了密文的随机性和安全性。
  2. 密文长度：密文是明文的两倍，这进一步增强了其安全性。
  3. 乘法同态：EIGamal加密算法具有乘法同态的特性，即密文与一个因子的乘积等于原始明文与同一因子的乘积的加密结果。

应用场景

EIGamal算法广泛应用于数字证书、电子商务、数字签名等领域。例如，在数字证书中，EIGamal算法可以用于签名和验证，保证证书的真实性和完整性，从而保障信息的安全性。在电子商务中，它可以用于支付、订单等环节的加密，防止欺诈和篡改。

安全性

EIGamal算法的安全性基于离散对数问题的难解性。

EIGamal密码算法通过引入随机数和增加密文长度来提高安全性，并且具有乘法同态的特性，使其在多个应用场景中都非常有用。

具体实现细节

ElGamal加密算法是一种基于离散对数问题的非对称加密算法，由塔希尔·盖莫尔在1985年提出。其实现细节可以分为以下几个步骤：

1. 密钥生成

  1. 选择大素数：首先，需要随机生成一个大素数p，并且确保p−1是可被某个小于它的正整数g整除，这个g称为原根。
  2. 选择私钥：选择一个私钥x，其中0<x<p−1。私钥x将用于生成公钥。
  3. 计算公钥：使用公式y=(g^x) mod p来计算公钥y。公钥由p、g和y组成。

2. 加密过程

  1. 选择随机数：每次加密时，都需要选择一个随机数k，其中1<k<p−1。
  2. 计算临时密钥：使用公式c 1=(g^k) mod p来计算第一个临时密钥c 1。
  3. 计算第二个临时密钥：使用公式c 2=m⋅(y^k) mod p来计算第二个临时密钥c 2，其中m是明文消息。
  4. 生成密文：将两个临时密钥c 1和c 2组合成一个密文，即密文为(𝑐1,𝑐2)

3. 解密过程

  1. 计算临时密钥：使用公式s=(c 1^x) mod p来计算临时密钥s。
  2. 恢复明文：使用公式m=c 2⋅(s^−1) mod p来恢复明文。

4. 安全性

ElGamal加密算法的安全性依赖于离散对数问题的难解性。即在给定基数g、模p和某个幂次y的情况下，找到满足(g^x) mod p= y的整数x是困难的。

5. 实际应用

ElGamal加密算法广泛应用于密码学系统中，如GnuPG和PGP等。它可以定义在任何循环群G上，其安全性取决于该群上的离散对数难题。

优势和劣势

EIGamal密码算法与其他公钥加密算法（如RSA）相比，具有以下优势和劣势：

优势

  1. 高安全性：
    • EIGamal算法基于离散对数问题，这是一个数学难题，使得破解变得极其困难，从而为数据提供了强大的保护。
    • 相比之下，RSA算法虽然也采用非对称加密方式，但其安全性主要依赖于大质数分解和离散对数问题。
  2. 灵活性高：
    • EIGamal既可以用于数据加密，也可以用于数字签名。这使得它在多种应用场景中都非常有用。
  3. 密钥管理简便：
    • EIGamal的密钥管理相对简单，公钥可以公开，而私钥由用户保管。这使得在实际应用中更容易进行密钥的分发和管理。
  4. 适用于大数据量：
    • EIGamal算法适用于大数据量的加密，因为其加/解密速度较快。

劣势

  1. 加密长度较长：
    • EIGamal算法的加密结果通常比RSA算法的加密结果要长。这可能会导致在某些应用场景中，EIGamal的效率不如RSA。
  2. 计算复杂度较高：
    • 尽管EIGamal算法的逆运算可以通过平方乘的方法有效计算出来，但其基本操作仍然比RSA算法复杂。
  3. 普及度较低：
    • 相比于RSA算法，EIGamal算法在实际应用中的普及度较低。这可能是由于其加密结果较长以及计算复杂度较高所致。

EIGamal密码算法在安全性、灵活性和密钥管理方面具有显著优势，但在加密长度和计算复杂度方面存在一定的劣势。

大乘法同态问题

  1. 改进ElGamal算法：原始的ElGamal算法仅具备乘法同态性，但可以通过对其进行改进，设计出既具有乘法同态性又具有加法同态性的变体加密方案。这种改进不仅增强了安全性，还能执行常数乘的同态运算。
  2. 使用Schönhage-Strassen算法（SSA）：针对全同态加密（FHE）的应用需求，可以采用基于Schönhage-Strassen算法的硬件架构来实现快速的大数乘法。这种方法通过并行架构和有限域快速数论变换（NTT）来优化大整数乘法的计算效率。
  3. 生成大素数和生成元：在ElGamal方案中，生成一个大素数和生成元是关键步骤。这些参数的选择直接影响到加密和解密过程的安全性和效率。通过优化这些参数的生成，可以提高整体系统的性能。
  4. 利用离散对数难题：ElGamal算法是基于离散对数难题的公钥加密体系。通过进一步研究和优化离散对数问题的求解方法，可以提高加密和解密过程的安全性和效率。
  5. 并行优化：对于大整数乘法，可以采用Pohlig-Hellman算法的分治策略，并行优化计算过程。这种方法可以显著提高大整数乘法的计算速度。

解决EIGamal密码算法中的大乘法同态问题需要综合考虑算法改进、硬件架构优化、参数生成优化以及并行计算策略等多方面因素。

安全漏洞

  1. 离散对数问题：EIGamal算法的安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。如果离散对数问题被解决，那么EIGamal算法将会变得不安全。
  2. 侧信道攻击：在某些情况下，EIGamal加密可能会受到侧信道攻击的影响。例如，Libgcrypt在处理ElGamal加密时，由于缺乏指数模糊处理（exponent blinding），容易受到侧信道攻击。
  3. 伪造签名：如果攻击者知道了某个人的公钥，他们可以伪造该人士的签名信息。这是因为攻击者可以通过选择合适的整数来计算出伪造的签名，从而绕过正常的验证过程。
  4. 碰撞问题：虽然EIGamal算法本身没有直接的碰撞问题，但在实际应用中，其他相关算法如MD5和SHA可能存在碰撞问题，这也可能间接影响到EIGamal算法的安全性。
  5. 密文长度问题：EIGamal加密过程中生成的密文长度是明文的两倍，这可能导致较大的数据传输量，从而增加了被攻击的风险。

改进方向

EIGamal密码算法的最新研究进展和改进方向主要集中在以下几个方面：

  1. 逐比特加解密：一种改进的ElGamal算法可以实现逐比特地进行加解密，这种方法使得被加密消息可以任意比特长，提高了灵活性和应用范围。
  2. 安全性和效率的提升：随着密码学和网络安全领域的不断发展，对ElGamal算法进行改进和优化，以及研究和发展更安全、更高效的加密和签名机制将是未来的重要方向。例如，通过建表以及对传统二进制算法进行改进，即将指数进行2k进制化，可以减少原BR算法迭代次数，从而提高加解密速度。
  3. 信息隐藏和图像加密：基于ElGamal的改进最低有效位信息隐藏算法能够准确提取秘密信息，并且在提高数据嵌入量的同时，为数据提供了更高级别的安全性。
  4. 数字签名方案的改进：对原始的ElGamal数字签名方案进行了改进，减少了模逆运算的次数，并增加了随机数，以增强安全性。此外，还有针对无Hash函数的ElGamal离散对数数字签名问题的改进方案，但这些方案可能存在伪造签名攻击的问题。
  5. 算法的环签名改进：研究了ElGamal算法的环签名改进方案，这也是其发展的一个方向。

EIGamal密码算法的最新研究进展和改进方向包括逐比特加解密、安全性和效率的提升、信息隐藏和图像加密、数字签名方案的改进以及算法的环签名改进等方面。

代码实现

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import random

# 查找最大公约数
def gcd(a, b):
    if a < b:
        return gcd(b, a)
    elif a % b == 0:
        return b
    else:
        return gcd(b, a % b)

# 快速幂和模运算
def power(a, b, c):
    ans = 1
    while b != 0:
        if b & 1:
            ans = (ans * a) % c
        b >>= 1
        a = (a * a) % c
    return ans

# 检测大质数
def Miller_Rabin(n):
    a = random.randint(2,n-2) # 随机找到 'a' 属于 [2,n-2]
    s = 0                     # s 是 d 中因子 2 的幂
    d = n - 1
    while (d & 1) == 0:       # 让我们分解出 d 中所有的 2。
        s += 1
        d >>= 1

    x = power(a, d, n)
    for i in range(s):        # 执行 s 次二次探测
        newX = power(x, 2, n)
        if newX == 1 and x != 1 and x != n - 1:
            return False      # 使用二次定理的逆定理，确定 n 为合数。
        x = newX

    if x != 1:                # 如果 x=a^(n-1) (mod n)，则确定 n 为合数。
        return False

    return True               # 通过费马小定理的逆定理判断。通过这个测试的数很可能是质数。


# 扩展欧几里得算法，ab=1 (mod m)，得到 A 在模 m 下的乘法逆元 b
def Extended_Eulid(a: int, m: int) -> int:
    def extended_eulid(a: int, m: int):
        if a == 0:  # 边界条件
            return 1, 0, m
        else:
            x, y, gcd = extended_eulid(m % a, a)  # 递归
            x, y = y, (x - (m // a) * y)  # 递归，左端是上层
            return x, y, gcd              # 返回第一层计算的结果。
        # 最终返回的 y 值是 b 在模 a 下的乘法逆元
        # 如果 y 是复数，y 加 a 是相应的正逆元

    n = extended_eulid(a, m)
    if n[1] < 0:
        return n[1] + m
    else:
        return n[1]


# 生成参数 p，大约 512bits 长度
def Generate_p() -> int:
    a = random.randint(2**512, 2**1024)
    while gcd(a, 2) != 1:
        a = random.randint(2**512, 2**1024)
    return a


# 生成参数 alpha
def Generate_alpha(p: int) -> int:
    return random.randint(2, p)


# 生成小于 p 的质数，大约 512bits 长，作为私钥
def Generate_private_key(p: int) -> int:
    pri = random.randint(1, p - 1)
    while gcd(pri, p) != 1:
        pri = random.randint(1, p - 1)
    return pri


# B 或 A 使用参数 P 和生成的秘钥来加密消息
def encrypt(message, p, Key_mask) -> int:
    ciphertext = (message * Key_mask) % p
    return ciphertext


# B 或 A 使用参数 P 和他们获得的秘钥来解密密文
def decrypt(ciphertext, p, Key_mask):
    # 逆掩码
    inverse_element = Extended_Eulid(Key_mask, p)
    # 解码
    plaintext = (ciphertext * inverse_element) % p
    return plaintext


def fast_exp(a: int, b: int) -> int:
    ans = 1
    while b != 0:
        if b & 1:
            ans = ans * a
        b >>= 1
        a = a * a
    return ans


def Generate_prime(key_size: int) -> int:
    while True:
        num = random.randrange(fast_exp(2, key_size - 1), fast_exp(2, key_size))
        if Miller_Rabin(num):
            return num


if __name__ == '__main__':
    message = int(input("Message:"))
    if type(message) != int:
        raise ValueError("必须是整数!")

    p = Generate_prime(512)
    g = Generate_alpha(p)

    # A 选择自己的私钥，计算自己的公钥，并将公钥传递给 Bob
    k1 = Generate_private_key(p)
    beta1 = power(g, k1, p)

    # B 选择自己的私钥，计算的公钥，并将公钥放在网络上
    k2 = Generate_private_key(p)
    beta2 = power(g, k2, p)

    # B 和 A 分别计算密钥，结果应该相同
    Key_mask_A1 = power(beta1, k2, p)
    Key_mask_B1 = power(beta2, k1, p)

    # B 加密消息
    ciphertext = encrypt(message, p, Key_mask_B1)

    # A 解密消息
    plaintext = decrypt(ciphertext, p, Key_mask_A1)

    print("参数: ")
    print("p:   ", p)
    print("生成元g:    ", g)
    print()

    print("私钥: ")
    print("r1:  ", k1)
    print("r2:  ", k2)
    print()

    print("公钥: ")
    print("A:   ", beta1)
    print("B:     ", beta2)
    print()

    print("密钥:  ", Key_mask_B1)
    print()

    print("密文:  ", ciphertext)
    print("明文:   ", plaintext)
密码学
#EIGamal
EIGamal密码算法
https://forever0823.github.io/2024/05/25/EIGamal/
作者
Alan
发布于
2024年5月25日
许可协议